大家好，我是小百，我來為大家解答以上問題。海倫公式證明向量法，海倫公式證明很多人還不知道，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、證明過程證明（1）　　與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為 　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 　　S=1/2*ab*sinC 　　=1/2*ab*√(1-cos^2 C) 　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] 　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] 　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] 　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] 　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 　　設p=(a+b+c)/2 　　則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] 　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 證明（2）　　我國宋代的數(shù)學家秦九韶也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數(shù)學家秦九韶提出了“三斜求積術”。 　　秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜?！靶g”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。 　　所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以 　　q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 　　當P=1時，△ 2=q, 　　△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 　　因式分解得 　　△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] 　　=1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] 　　=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) 　　=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) 　　=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] 　　=p(p-a)(p-b)(p-c) 　　由此可得： 　　S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　其中p=1/2(a+b+c) 　　這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。 　　S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a. 　　根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。如下題： 　　已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積 　　這里用海倫公式的推廣 　　S圓內(nèi)接四邊形= 根號下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊） 　　代入解得s=8√ 3 證明（3）　　在△ABC中∠A、∠B、∠C對應邊a、b、c 　　O為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長 　　有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 　　r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r 　　∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 　　∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) 　　=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 　　=ptanA/2tanB/2tanC/2 　　=r 　　∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 　　∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) 　　=p(p-a)(p-b)(p-c) 　　∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 　　證明(4) 　　通過正弦定理:和余弦定理的結(jié)合證明 (具體可以參考證明方法1) 編輯本段推廣　　關于三角形的面積計算公式在解題中主要應用的有： 　　設△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p = (a+b+c)/2,則 　　S△ABC 　　=1/2 aha 　　=1/2 ab×sinC 　　= r p 　　= 2R^2sinAsinBsinC 　　= √[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學家海倫的著作《測地術》中有記載。 編輯本段海倫公式在解題中有十分重要的應用。一、 海倫公式的證明　　證一： 勾股定理 　　如右圖 ??

1、勾股定理證明海倫公式

2、斯氏定理證明海倫公式

3、恒等式證明(1)

4、恒等式證明(2)

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。