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課時(shí)訓(xùn)練9函數(shù)的單調(diào)性

【說明】本試卷滿分100分，考試時(shí)間90分鐘.

一、選擇題（每小題6分，共42分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是（??? ）

A.y=-x+1????B.y=

C.y=x2-4x+5????D.y=

答案：B

解析：A、C、D函數(shù)在（0，2）均為減函數(shù).

2.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)，則下列不等式正確的是（??? ）

A.f(2a)<f(a)????B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a)????D.f(a2+1)<f(a)

答案：D

解析：∵a2+1-a=(a- )2+>0，∴a2+1>a.又f(x)在R上遞減，故f(a2+1)<f(a).

或者令a=0,排除A、B、C,選D.

3.函數(shù)y=(2k+1)x+b在(-∞，+∞)上是減函數(shù)，則（??? ）

A.k>????B.k<????C.k>-????D.k<-

答案：D

解析：2k+1<0 k<- .

4.函數(shù)f(x)= 在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為（??? ）

A.0<a<????B.a<-1或a> [來源:學(xué)科網(wǎng)]

C.a>????D.a>-2

答案：C

解析：∵f(x)=a+ 在(-2,+∞)遞增，∴1-2a<0,即a> .

5.(2010四川成都一模，4)已知f(x)是R上的增函數(shù)，若令F（x）=f(1-x)-f(1+x)，則F（x）是R上的（??? ）

A.增函數(shù)????B.減函數(shù)

C.先減后增的函數(shù)????????D.先增后減的函數(shù)

答案：B

解析：取f(x)=x,則F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x為減函數(shù)，選B.

6.已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù)，且f(x)在［0，+∞）上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式中正確的是（??? ）

A.f(5)>f(-5)????B.f(4)>f (3)????C.f(-2)>f(2)????D.f(-8)<f(8 )

答案：C

解析：∵f(x)為奇函數(shù),∴f(0)=0,∴f(2)<f(0)=0,f(-2)=-f(2)>0,即f(-2)>f(2).

7.(2010全國大聯(lián)考，5)下列函數(shù)：（1）y=x2;(2)y= ;(3)y=2x;(4)y=log2x.其中不是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上也不是減函數(shù)的有（??? ）

A.0個(gè)????B.1個(gè)????C.2個(gè)????D.3個(gè)

答案：D

解析：（1）是偶函數(shù)，（2）（3）（4）都不是偶函數(shù)且在（0，+∞）上遞增，故滿足條件.

二、填空題（每小題5分，共15分）

8.函數(shù)y= 的遞減區(qū)間是__________________.

答案：［2，+∞］

解析：y=( )t單調(diào)遞減，t=x2-4x+5在［2，+∞)上遞增，∴遞減區(qū)間為［2，+∞).

9.若函數(shù)f(x)是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，則不等式f(x)>f(8x-16)的解集為_______________.

答案：（2， ）

解析：

10.已知函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí) ，有f(x1)>f(x2),且f(x1+x2)=f(x1)f( x2),則f(x)=_____________(請(qǐng)寫出一個(gè)滿足這些條件的函數(shù)即可).

答案：ax(0<a<1)

解析：f(x)在R上遞減，f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)的函數(shù)模型為f(x)=ax.

三、解答 題（1 1—13題每小題10分，14題13分，共43分）

11.設(shè)函數(shù)f(x)=x+ (a>0).

(1)求函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間，并證明之；

（2）若函數(shù)f(x)在［a-2,+∞］上遞增，求a的取值范圍.

解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增區(qū)間為［ ,+∞］，減區(qū)間為（0， ）.

證明：∵f′(x)=1- ,當(dāng)x∈［ ,+∞］時(shí)，

∴f′(x)>0,當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′(x)<0.

即f(x)在［ +∞］上單調(diào)遞增，在（0， ）上單調(diào)遞減.（或者用定義證）

（2）［a-2,+∞］為［ ，+∞］的子區(qū)間，所以a-2 ≥ a- -2≥0 ( +1)( -2)≥0 -2≥0 a≥4.

12.(2010湖北黃岡中學(xué)模擬，19)已知定義域?yàn)椋?，1］的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足：[來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K]

①對(duì)于任意的x∈［0，1］，總有f(x)≥0;

②f(1)=1;

③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,[來源:學(xué)#科#網(wǎng)]

則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).

(1)求f(0)的值；

（2）求f(x)的最大值.

解析：(1)對(duì)于條件③，令x1=x2=0得f(0)≤0，又由條件①知f(0)≥0，故f(0)=0.

(2)設(shè)0≤x1<x2≤1,則x2-x1∈(0,1)，[來源:學(xué)科網(wǎng)]

∴f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)≥0.

即f(x2)≥f(x1),故f(x)在［0，1］上是單調(diào)遞增，從而f(x)的最大值是f(1)=1.

13.定義在R上的奇函數(shù)f(x)在［-a,-b］(a>b>0)上是減函數(shù)且f(-b)>0,判斷F（x）=［f(x)］2在［b,a］上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.

解析：設(shè)b≤x1<x2≤a,則

-b≥-x1>-x2≥-a.

∵f(x)在［-a,-b］上是減函數(shù),∴0<f(-b)≤f(-x1)<f(-x2)≤f(-a),∵f(x)是奇函數(shù),∴0<-f(x1)<-f(x2)，

則f(x2)<f(x1)<0,［f(x1)］2<［f(x2)］2,即F(x1)<F(x2).

∴F(x)在［b,a］上為增函數(shù).

14.已知函數(shù)f(x)=( -1)2+( -1)2的定義域?yàn)椋踡,n)且1≤m<n≤2.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）證明：對(duì)任意x1、x2∈［m,n］,不等式|f(x1)-f(x2) |<1恒成立.

（1）解析：解法一：∵f(x)=( -1)2+( -1)2= +2,

∴f′(x)= ·(x4-m2n2-m x3+m2nx)= (x2-mx+mn)(x+ )

(x- ).

∵1≤m≤x<n≤2,∴ >0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+ >0.

令f′(x)=0,得x= ，

①當(dāng)x∈［m, ］時(shí)，f′(x)<0;[來源:學(xué),科,網(wǎng)]

②當(dāng)x∈［ ，n］時(shí)，f′(x)>0.

∴f(x)在［m, ］內(nèi)為減函數(shù)，在［ ，n）為內(nèi)增函數(shù).

解法二：由題設(shè)可得

f(x)=（ -1）2- +1.

令t= .

∵1≤m<n≤2,且x∈［m,n］,

∴t= ≥2, >2.

令t′= =0,得x= .

當(dāng)x∈［m, ］,t′<0;當(dāng)x∈( ,n)時(shí)，t′>0.∴t= 在［m, ］內(nèi) 是減函數(shù)，在［ ，n］內(nèi)是增函數(shù).∵函數(shù)y=(t-1)2- +1在［1 ，+∞］上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在［m, ］內(nèi)是減函數(shù)，在［ ，n］內(nèi)是增函數(shù).

（2）證明：由（1）可知，f(x)在［m,n］上的最小值為f( )=2( -1)2,最大值為f(m)=( -1)2.

對(duì)任意x1、x2∈［m,n］,|f(x1)-f(x2)|≤( -1)2-2( -1) 2=( )2-4· +4 -1.令u= ,h(u)=u4-4u2+4u-1.

∵1≤m<n≤2,∴1< ≤2,即1< u≤ .∵h(yuǎn)′(u)=4u3-8u+4=4(u-1)(u- )(u+ )>0,

∴h(u)在(1, )上是增函數(shù).∴h(u)≤h( )=4-8+4 -1=4 -5<1.

∴不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.

本文到此講解完畢了，希望對(duì)大家有幫助。